DEM wiki
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[This page is prepared in Chinese, and will be part of a book aiming at beginners of DEM.]
聚合超椭球（Poly-super-ellipsoid）
超椭球的表面可表示为
\begin{align}
f(x, y, z) = \left( \left| \frac{x}{r_{x}} \right|^{\frac{2}{\epsilon_{1}}}
+ \left| \frac{y}{r_{y}} \right|^{\frac{2}{\epsilon_{1}}} \right)^{\frac{\epsilon_{1}}{\epsilon_{2}}}
+ \left| \frac{z}{r_{z}} \right|^{\frac{2}{\epsilon_{2}}} - 1 = 0
\label{eq:poly_super_ellipsoid}
\end{align}
其中，r_{x}、r_{y} 和 r_{z} 分别为超椭球在 x、y 和 z 方向的半轴长（semi-pricinpal axis length）；\epsilon_{1} 和 \epsilon_{2} 是表征超椭球球度或块度（blockness）的两个形状参数。当参数 \epsilon_{1} 和 \epsilon_{2} 在 (0, 2) 区间内时，超椭球为凸型；否则为非凸型。对于聚合超椭球，半轴长参数 r_{x} 在负X轴象限取 r_{x^-}，在正X轴象限取 r_{x^+}；r_{y} 和 r_{z} 亦然。
支撑映射（Support mapping）
参考笛卡尔坐标系和球坐标系之间的坐标变换，超椭球的球坐标参数化可表示为（注，以第一象限为例、正负号已省略）
\begin{align}
x &= r_x (\sin\theta)^{\epsilon_2} (\cos\varphi)^{\epsilon_1} \\
y &= r_y (\sin\theta)^{\epsilon_2} (\sin\varphi)^{\epsilon_1} \\
z &= r_z (\cos\theta)^{\epsilon_2}
\end{align}
其中，\theta 和 \varphi 分别为极角（polar angle）与方位角（azimuth angle）。把x、y 和 z分别对\theta 和 \varphi 求偏导，可得超椭球表面的方向向量为
\begin{align}
x_\theta &= \epsilon_2 r_x (\sin\theta)^{\epsilon_2-1} (\cos\theta)
(\cos\varphi)^{\epsilon_1} \\
y_\theta &= \epsilon_2 r_y (\sin\theta)^{\epsilon_2-1} (\cos\theta)
(\sin\varphi)^{\epsilon_1} \\
z_\theta &= \epsilon_2 r_z (\cos\theta)^{\epsilon_2-1} (-\sin\theta)
\end{align}
以及
\begin{align}
x_\varphi &= \epsilon_1 r_x (\sin\theta)^{\epsilon_2}
(\cos\varphi)^{\epsilon_1-1} (-\sin\varphi) \\
y_\varphi &= \epsilon_1 r_y (\sin\theta)^{\epsilon_2}
(\sin\varphi)^{\epsilon_1-1} (\cos\varphi) \\
z_\varphi &= 0
\end{align}
求两个方向向量的叉乘、并化简，可得到超椭球表面的法方向为（注，法方向各分量同时除于了 \epsilon_1 \epsilon_2 r_x r_y r_z (\sin\theta)^{2\epsilon_2-1} (\cos\theta)^{\epsilon_2-1} (\sin\varphi)^{\epsilon_1-1} (\cos\varphi)^{\epsilon_1-1} ）
\begin{align}
n_x &= \frac{k}{r_x} (\sin\theta)^{2-\epsilon_2} (\cos\varphi)^{2-\epsilon_1} \\
n_y &= \frac{k}{r_y} (\sin\theta)^{2-\epsilon_2} (\sin\varphi)^{2-\epsilon_1} \\
n_z &= \frac{k}{r_z} (\cos\theta)^{2-\epsilon_2}
\end{align}
其中，n_x、n_y 和 n_z 为法方向在X、Y、Z三个方向的分量；k 为一缩放系数使得(n_x、n_y 和 n_z)为单位向量。若给定某点的法方向，则该点的球坐标参数 \theta 和 \varphi 可由下式计算：
\begin{align}
\varphi &= \text{atan2}
\left(
(r_y n_y)^{\frac{1}{2-\epsilon_1}}, (r_x n_x)^{\frac{1}{2-\epsilon_1}}
\right) \\
\theta &= \text{atan2}
\left(
\left(r_x n_x / (\cos\varphi)^{2-\epsilon_1} \right)^{\frac{1}{2-\epsilon_2}},
(r_z n_z)^{\frac{1}{2-\epsilon_2}}
\right) \\
\text{or} \quad
\theta &= \text{atan2}
\left(
\left(r_y n_y / (\sin\varphi)^{2-\epsilon_1} \right)^{\frac{1}{2-\epsilon_2}},
(r_z n_z)^{\frac{1}{2-\epsilon_2}}
\right)
\end{align}
有向距离场（Signed distance field）
给定查询节点 P，该点在聚合超椭球表面的投影定义为
\begin{align}
\vec{x}_Q = (x_Q、y_Q、z_Q) = (c x_P、c y_P、c z_P)
\end{align}
其中，x、y 和 z 表示点在X、Y、Z三个方向的坐标；下标 P and Q 表示点 P 和 Q；参数 c 为缩放系数使得点 Q 在聚合超椭球上，即满足方程 \eqref{eq:poly_super_ellipsoid}。 将点 Q 带入方程 \eqref{eq:poly_super_ellipsoid} 可求得参数 c，为
\begin{align}
c = \left( \frac{1}{f(\vec{x}_P)+1} \right)^{\frac{\epsilon_2}{2}}
\end{align}
有向距离场可定义为点 P 和 Q 之间的距离，为
\begin{align}
\Phi(\vec{x}_P) = (c-1)||\vec{x}_P||
\end{align}
其中，||\vec{x}_P|| 表示向量 \vec{x}_P 的欧拉长度，即二阶范数。
聚合超二次曲面（Poly-super-quadrics)
超二次曲面可表示为
\begin{align}
f(x, y, z) = \left| \frac{x}{r_{x}} \right|^{\frac{2}{\epsilon_x}}
+ \left| \frac{y}{r_{y}} \right|^{\frac{2}{\epsilon_y}}
+ \left| \frac{z}{r_{z}} \right|^{\frac{2}{\epsilon_z}} - 1 = 0
\label{eq:poly_super_quadrics}
\end{align}
其中，r_{x}、r_{y} 和 r_{z} 分别为超二次曲面在 x、y 和 z 方向的半轴长（semi-pricinpal axis length）；\epsilon_{x}、\epsilon_{y} 和 \epsilon_{z} 是表征超二次曲面球度或块度（blockness）的三个形状参数。当参数 \epsilon_{x}、\epsilon_{y} 和 \epsilon_{z} 在 (0, 2) 区间内时，超二次曲面为凸型；否则为非凸型。对于聚合超二次曲面，半轴长参数 r_{x} 在负X轴象限取 r_{x^-}，在正X轴象限取 r_{x^+}；形状参数 \epsilon_{x} 在负X轴象限取 \epsilon_{x^-}，在正X轴象限取 \epsilon_{x^+}；r_{y}、r_{z}、\epsilon_{y} 和 \epsilon_{z} 亦然。
支撑映射（Support mapping）
参考笛卡尔坐标系和球坐标系之间的坐标变换，超椭球的球坐标参数化可表示为
\begin{align}
x &= r_x (\sin\theta)^{\epsilon_x} (\cos\varphi)^{\epsilon_x} \\
y &= r_y (\sin\theta)^{\epsilon_y} (\sin\varphi)^{\epsilon_y} \\
z &= r_z (\cos\theta)^{\epsilon_z}
\end{align}
其中，\theta 和 \varphi 分别为极角（polar angle）与方位角（azimuth angle）。把x、y 和 z分别对\theta 和 \varphi 求偏导，可得超椭球表面的方向向量为
\begin{align}
x_\theta &= \epsilon_x r_x (\sin\theta)^{\epsilon_x-1} (\cos\theta)
(\cos\varphi)^{\epsilon_x} \\
y_\theta &= \epsilon_y r_y (\sin\theta)^{\epsilon_y-1} (\cos\theta)
(\sin\varphi)^{\epsilon_y} \\
z_\theta &= \epsilon_z r_z (\cos\theta)^{\epsilon_z-1} (-\sin\theta)
\end{align}
以及
\begin{align}
x_\varphi &= \epsilon_x r_x (\sin\theta)^{\epsilon_x}
(\cos\varphi)^{\epsilon_x-1} (-\sin\varphi) \\
y_\varphi &= \epsilon_y r_y (\sin\theta)^{\epsilon_y}
(\sin\varphi)^{\epsilon_y-1} (\cos\varphi) \\
z_\varphi &= 0
\end{align}
求两个方向向量的叉乘、并化简，可得到超椭球表面的法方向为（注，法方向各分量同时除于了 \epsilon_x \epsilon_y \epsilon_z r_x r_y r_z (\sin\theta)^{\epsilon_x+\epsilon_y-1} (\cos\theta)^{\epsilon_z-1} (\sin\varphi)^{\epsilon_y-1} (\cos\varphi)^{\epsilon_x-1} ）
\begin{align}
n_x &= \frac{k}{\epsilon_x r_x}
(\sin\theta)^{2-\epsilon_x} (\cos\varphi)^{2-\epsilon_x} \\
n_y &= \frac{k}{\epsilon_y r_y}
(\sin\theta)^{2-\epsilon_y} (\sin\varphi)^{2-\epsilon_y} \\
n_z &= \frac{k}{\epsilon_z r_z}
(\cos\theta)^{2-\epsilon_z}
\end{align}
其中，n_x、n_y 和 n_z 为法方向在X、Y、Z三个方向的分量；k 为一缩放系数使得(n_x、n_y 和 n_z)为单位向量。若给定某点的法方向，则该点的笛卡尔坐标可由下式计算：
\begin{align}
x &= r_x \left( \frac{\epsilon_x r_x n_x}{k} \right)^{\frac{\epsilon_x}{2-\epsilon_x}} \\
y &= r_y \left( \frac{\epsilon_y r_y n_y}{k} \right)^{\frac{\epsilon_y}{2-\epsilon_y}} \\
z &= r_z \left( \frac{\epsilon_z r_z n_z}{k} \right)^{\frac{\epsilon_z}{2-\epsilon_z}} \\
\end{align}
将上式带入公式\eqref{eq:poly_super_quadrics}可求得系数 k，进而得到该点的坐标 x、y 和 z。
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